משפט תאלס: ניסוח ודוגמה לפתרון הבעיה

בפרסום זה נשקול את אחד המשפטים המרכזיים בגיאומטריה בכיתה 8 - משפט תאלס, שקיבל שם כזה לכבודו של המתמטיקאי והפילוסוף היווני תאלס ממילטוס. ננתח גם דוגמה לפתרון הבעיה כדי לגבש את החומר המוצג.

הצהרת המשפט

אם מודדים קטעים שווים באחד משני הקווים הישרים ומציירים קווים מקבילים בקצוותיהם, ואז חציית הקו הישר השני הם יחתכו עליו קטעים שווים זה לזה.

• A₁A₂ = א₂A₃ ...
• B₁B₂ =B₂B₃ ...

הערה: החיתוך ההדדי של הססקנטים אינו משחק תפקיד, כלומר המשפט נכון גם לגבי ישרים מצטלבים וגם לגבי מקבילים. גם מיקומם של הקטעים על הססקנטים אינו חשוב.

ניסוח כללי

משפט תאלס הוא מקרה מיוחד משפטי מקטע פרופורציונלי*: קווים מקבילים חותכים קטעים פרופורציונליים בגזרות.

בהתאם לכך, עבור השרטוט שלנו לעיל, השוויון הבא נכון:

* כי מקטעים שווים, כולל, הם פרופורציונליים עם מקדם מידתיות שווה לאחד.

משפט תאלס הפוך

1. לסקאנטים מצטלבים

אם קווים חותכים שני קווים אחרים (מקבילים או לא) וחותכים עליהם קטעים שווים או פרופורציונליים, החל מלמעלה, אז הקווים הללו מקבילים.

מתוך המשפט ההפוך להלן:

מצב נדרש: מקטעים שווים צריכים להתחיל מלמעלה.

2. לסקנטים מקבילים

הקטעים בשתי הסעיפים חייבים להיות שווים זה לזה. רק במקרה זה המשפט ישים.

• a || b
• A₁A₂ =B₁B₂ = א₂A₃ =B₂B₃ ...

דוגמה לבעיה

נתון קטע AB על פני השטח. מחלקים אותו ל-3 חלקים שווים.

פתרון

צייר מנקודה A ישיר a וסמן עליו שלושה קטעים שווים רצופים: AC, CD и DE.

נקודת קיצון E על קו ישר a להתחבר עם נקודה B על הקטע. לאחר מכן, דרך שאר הנקודות C и D במקביל BE צייר שני קווים שחותכים את הקטע AB.

נקודות החיתוך הנוצרות כך על הקטע AB מחלקות אותו לשלושה חלקים שווים (לפי משפט תלס).