מכפלת צולב של וקטורים

בפרסום זה, נשקול כיצד למצוא את המכפלה הצולבת של שני וקטורים, לתת פרשנות גיאומטרית, נוסחה אלגברית ומאפיינים של פעולה זו, וכן ננתח דוגמה לפתרון הבעיה.

פרשנות גיאומטרית

מכפלה וקטורית של שני וקטורים שאינם אפס a и b הוא וקטור c, אשר מסומן כ [a, b] or a x b.

אורך וקטור c שווה לשטח המקבילית שנבנתה באמצעות הוקטורים a и b.

במקרה הזה, c בניצב למישור שבו הם נמצאים a и b, והוא ממוקם כך שהמינימום סיבוב מ a к b בוצע נגד כיוון השעון (מנקודת המבט של קצה הווקטור).

נוסחת מוצר צולבת

תוצר של וקטורים a = {א_x; ל_y,_z} אני b = {ב_x; ב_y, ב_z} מחושב באמצעות אחת מהנוסחאות הבאות:

חוצה מאפייני מוצר

1. מכפלת הצלב של שני וקטורים שאינם אפס שווה לאפס אם ורק אם הוקטורים הללו הם קולינאריים.

[a, b] = 0, אם a || b.

2. המודול של מכפלת הצלב של שני וקטורים שווה לשטח המקבילית שנוצרה על ידי וקטורים אלה.

S_במקביל = |a x b|

3. השטח של משולש שנוצר על ידי שני וקטורים שווה למחצית מהמכפלה הווקטורית שלהם.

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. וקטור שהוא מכפלה צולבת של שני וקטורים אחרים מאונך אליהם.

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = -b x a

6. (מ a) איקס a = a x (מ b) = M (a x b)

7. (a + b) איקס c = a x c + b x c

דוגמה לבעיה

חשב את המוצר הצלב a = {2; 4; 5} и b = {9; -שתיים; 3}.

הַחְלָטָה:

תשובה: a x b = {19; 43; -42}.