מהן זוויות סמוכות: הגדרה, משפט, תכונות

בפרסום זה נשקול מהן הזוויות הסמוכות, ניתן את ניסוח המשפט לגביהן (כולל ההשלכות ממנו), וכן נפרט את התכונות הטריגונומטריות של זוויות סמוכות.

הגדרה של פינות סמוכות

שתי זוויות סמוכות היוצרות קו ישר עם צלעותיהן החיצוניות נקראות סמוך. באיור למטה, אלו הפינות α и β.

אם שתי פינות חולקות את אותו קודקוד וצד זהה, הן כן סמוך. במקרה זה, האזורים הפנימיים של פינות אלה לא צריכים להצטלב.

העיקרון של בניית פינה סמוכה

אנו מרחיבים את אחד הצדדים של הפינה דרך הקודקוד, וכתוצאה מכך נוצרת פינה חדשה, הסמוכה לזו המקורית.

משפט הזווית הסמוכה

סכום המעלות של זוויות סמוכות הוא 180°.

פינה סמוכה 1 + זווית סמוכה 2 = 180°

דוגמה 1

אחת מהזוויות הסמוכות היא 92°, מהי השנייה?

הפתרון, לפי המשפט שנדון לעיל, ברור:

זווית סמוכה 2 = 180° – זווית סמוכה 1 = 180° – 92° = 88°.

השלכות מהמשפט:

• זוויות סמוכות של שתי זוויות שוות שוות זו לזו.
• אם זווית צמודה לזווית ישרה (90°), אז היא גם 90°.
• אם הזווית צמודה לזווית חדה, אז היא גדולה מ-90°, כלומר מטומטמת (ולהיפך).

דוגמה 2

נניח שיש לנו זווית צמודה ל-75°. זה חייב להיות גדול מ-90°. בוא נבדוק את זה.

בעזרת המשפט, נמצא את הערך של הזווית השנייה:

180° – 75° = 105°.

105° > 90°, מכאן שהזווית קהה.

תכונות טריגונומטריות של זוויות סמוכות

1. הסינוסים של זוויות סמוכות שווים, כלומר חטא α = חטא β.
2. הערכים של הקוסינוסים והטנג'ים של זוויות סמוכות שווים, אך יש להם סימנים הפוכים (למעט ערכים לא מוגדרים).
   • cos α = -cos β.
   • tg α = -tg β.