מערכת משוואות אלגבריות ליניאריות

בפרסום זה נשקול את ההגדרה של מערכת משוואות אלגבריות ליניאריות (SLAE), איך היא נראית, אילו סוגים יש, וגם איך להציג אותה בצורה מטריצה, כולל מורחבת.

הגדרה של מערכת משוואות לינאריות

מערכת משוואות אלגבריות ליניאריות (או בקיצור "SLAU") היא מערכת שנראית בדרך כלל כך:

• m הוא מספר המשוואות;
• n הוא מספר המשתנים.
• x₁x,₂,…, איקס_n - לא ידוע;
• a₁₁,₁₂…, א_mn - מקדמים לא ידועים;
• b₁, ב₂,…, ב_m - חברים בחינם.

מדדי מקדם (a_ij) נוצרים באופן הבא:

• i הוא מספר המשוואה הליניארית;
• j הוא מספר המשתנה שאליו מתייחס המקדם.

פתרון SLAU – מספרים כאלה c₁C₂,…, ג_n , בהגדרה של אשר במקום x₁x,₂,…, איקס_n, כל המשוואות של המערכת יהפכו לזהויות.

סוגי SLAU

1. הומוגני - כל החברים החופשיים של המערכת שווים לאפס (b₁ = ב₂ = … = ב_m = 0).

   

2. הטרוגני – אם התנאי לעיל לא מתקיים.
3. בצורת ריבוע – מספר המשוואות שווה למספר הלא ידועים, כלומר m = n.

   

4. לא נחוש - מספר הלא ידועים גדול ממספר המשוואות.

   

5. נעקר יש יותר משוואות ממשתנים.

   

בהתאם למספר הפתרונות, SLAE יכול להיות:

1. משותף יש לפחות פתרון אחד. יתרה מכך, אם היא ייחודית, המערכת נקראת מוגדרת, אם יש כמה פתרונות, היא נקראת אינסופית.

   

   ה-SLAE למעלה הוא משותף, כי יש לפחות פתרון אחד: x = 2, y = 3.

2. שאינו עולה בקנה אחד למערכת אין פתרונות.

   

   הצדדים הימניים של המשוואות זהים, אבל השמאליים לא. לפיכך, אין פתרונות.

סימון מטריצה ​​של המערכת

SLAE יכול להיות מיוצג בצורה מטריצה:

AX = B

• A היא המטריצה ​​שנוצרה על ידי המקדמים של הלא ידועים:

  

• X – עמודת משתנים:

  

• B - עמודה של חברים בחינם:

  

דוגמה

אנו מייצגים את מערכת המשוואות שלהלן בצורה מטריצה:

באמצעות הטפסים שלמעלה, אנו מרכיבים את המטריצה ​​הראשית עם מקדמים, עמודות עם איברים לא ידועים וחופשיים.

תיעוד מלא של מערכת המשוואות הנתונה בצורה מטריצה:

מטריצת SLAE מורחבת

אם למטריצה ​​של המערכת A הוסף עמודת חברים בחינם מימין B, תוך הפרדת הנתונים עם פס אנכי, אתה מקבל מטריצה ​​מורחבת של SLAE.

עבור הדוגמה למעלה, זה נראה כך:

– ייעוד המטריצה ​​המורחבת.