דמות גיאומטרית: משולש

בפרסום זה נשקול את ההגדרה, הסיווג והמאפיינים של אחת הצורות הגיאומטריות העיקריות - משולש. ננתח גם דוגמאות לפתרון בעיות כדי לגבש את החומר המוצג.

הגדרה של משולש

משולש – זוהי דמות גיאומטרית במישור, המורכבת משלוש צלעות, שנוצרות מחיבור שלוש נקודות שאינן שוכנות על קו ישר אחד. סמל מיוחד משמש לייעוד - △.

• נקודות A, B ו-C הן קודקודי המשולש.
• הקטעים AB, BC ו-AC הם צלעות המשולש, אשר מסומנות לרוב כאות לטינית אחת. לדוגמה, AB= a, BC = b, AND = c.
• החלק הפנימי של משולש הוא החלק במישור התחום על ידי צלעות המשולש.

צלעות המשולש בקודקודים יוצרות שלוש זוויות, המסומנות באופן מסורתי באותיות יווניות - α, β, γ וכו' בגלל זה, המשולש נקרא גם מצולע עם שלוש פינות.

ניתן לציין זוויות גם באמצעות הסימן המיוחד "∠"

• α – ∠BAC או ∠CAB
• β – ∠ABC או ∠CBA
• γ – ∠ACB או ∠BCA

סיווג משולש

בהתאם לגודל הזוויות או למספר הצלעות השוות, ניתן להבחין בין סוגי הדמויות הבאים:

1. בעל זווית חדה – משולש שכל שלוש הזוויות חדות, כלומר פחות מ-90°.

2. סתמי משולש שבו אחת מהזוויות גדולה מ-90°. שתי הזוויות האחרות חדות.

3. מַלבֵּנִי – משולש שבו אחת מהזוויות ישרה, כלומר שווה ל-90°. באיור כזה, שתי הצלעות היוצרות זווית ישרה נקראות רגליים (AB ו-AC). הצלע השלישית מול הזווית הישרה היא התחתון (BC).

4. רב צדדי משולש שבו לכל הצלעות יש אורכים שונים.

5. שְׁוֵה שׁוֹקַיִם – משולש בעל שתי צלעות שוות, הנקראות לרוחב (AB ו-BC). הצד השלישי הוא הבסיס (AC). באיור זה, זוויות הבסיס שוות (∠BAC = ∠BCA).

6. שווה צלעות (או נכון) משולש שבו כל הצלעות זהות באורך. כמו כן כל הזוויות שלו הן 60°.

מאפייני משולש

1. כל אחת מצלעות המשולש קטנה משתי האחרות, אך גדולה מההבדל שלהן. מטעמי נוחות, אנו מקבלים את הייעודים הסטנדרטיים של הצדדים - a, b и с… לאחר מכן:

b – c < a < b + cAt ב > ג

מאפיין זה משמש לבדיקת קטעי קו כדי לראות אם הם יכולים ליצור משולש.

2. סכום הזוויות של כל משולש הוא 180°. מתכונה זו נובע שבמשולש קהה שתי זוויות תמיד חדות.

3. בכל משולש יש זווית גדולה יותר מול הצלע הגדולה יותר ולהיפך.

דוגמאות למשימות

משימה 1

ישנן שתי זוויות ידועות במשולש, 32° ו-56°. מצא את הערך של הזווית השלישית.

פתרון

בואו ניקח את הזוויות הידועות כמו α (32°) ו β (56°), והלא נודע - מאחור γ.

לפי התכונה על סכום כל הזוויות, a + b + c = 180 מעלות.

כתוצאה מכך, γ = 180 מעלות – א – ב = 180° - 32° - 56° = 92°.

משימה 2

נתון שלושה קטעים באורך 4, 8 ו-11. גלה אם הם יכולים ליצור משולש.

פתרון

הבה נרכיב אי-שוויון עבור כל אחד מהמקטעים הנתונים, בהתבסס על המאפיין שנדון לעיל:

11 – 4 <8 <11 + 4
8 – 4 <11 <8 + 4
11 – 8 <4 <11 + 8

כולם נכונים, לכן, מקטעים אלה יכולים להיות צלעות של משולש.