בפרסום זה נשקול מהי שיטת גאוס, מדוע היא נחוצה ומה העיקרון שלה. כמו כן, נדגים באמצעות דוגמה מעשית כיצד ניתן ליישם את השיטה לפתרון מערכת משוואות ליניאריות.
תיאור שיטת גאוס
שיטת גאוס היא השיטה הקלאסית של חיסול רציף של משתנים המשמשים לפתרון. הוא נקרא על שמו של המתמטיקאי הגרמני קרל פרידריך גאוס (1777-1885).
אבל ראשית, הבה נזכיר ש-SLAU יכול:
- יש פתרון אחד בודד;
- יש אינסוף פתרונות;
- לא תואמים, כלומר אין להם פתרונות.
יתרונות מעשיים
שיטת גאוס היא דרך מצוינת לפתור SLAE הכולל יותר משלוש משוואות ליניאריות, כמו גם מערכות שאינן מרובעות.
עקרון שיטת גאוס
השיטה כוללת את השלבים הבאים:
- ישר – המטריצה המוגדלת המתאימה למערכת המשוואות, מצטמצמת בדרך מעל השורות לצורה המשולשת העליונה (מדורגת), כלומר מתחת לאלכסון הראשי צריכים להיות רק אלמנטים השווים לאפס.
- בחזרה - במטריצה המתקבלת, האלמנטים מעל האלכסון הראשי מוגדרים גם הם לאפס (תצוגה משולשת נמוכה יותר).
דוגמה לפתרון SLAE
בואו נפתור את מערכת המשוואות הלינאריות שלהלן בשיטת גאוס.
פתרון
1. מלכתחילה, אנו מציגים את ה-SLAE בצורה של מטריצה מורחבת.
2. כעת המשימה שלנו היא לאפס את כל האלמנטים מתחת לאלכסון הראשי. פעולות נוספות תלויות במטריצה הספציפית, להלן נתאר את אלו המתאימות לענייננו. ראשית, אנו מחליפים את השורות, ובכך נמקם את האלמנטים הראשונים שלהן בסדר עולה.
3. הורידו מהשורה השנייה פעמיים את הראשונה, ומהשלישית – שילשו את הראשונה.
4. הוסף את השורה השנייה לשורה השלישית.
5. מחסירים את השורה השנייה מהשורה הראשונה, ובמקביל מחלקים את השורה השלישית ב-10.
6. הושלם השלב הראשון. עכשיו אנחנו צריכים לקבל את האלמנטים האפסים מעל האלכסון הראשי. כדי לעשות זאת, החסר את השלישי כפול 7 מהשורה הראשונה, והוסף את השלישי כפול 5 לשני.
7. המטריצה המורחבת הסופית נראית כך:
8. זה מתאים למערכת המשוואות:
תשובה: שורש SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.