מציאת המטריצה ​​ההפוכה

בפרסום זה, נשקול מהי מטריצה ​​הפוכה, וכן, באמצעות דוגמה מעשית, ננתח כיצד ניתן למצוא אותה באמצעות נוסחה מיוחדת ואלגוריתם לפעולות עוקבות.

הגדרה של מטריצה ​​הפוכה

ראשית, בואו נזכור מה זה הדדי במתמטיקה. נניח שיש לנו את המספר 7. אז ההיפוך שלו יהיה 7^-1 or ¹/₇. אם תכפיל את המספרים האלה, התוצאה תהיה אחת, כלומר 7 7^-1 = 1.

כמעט אותו דבר עם מטריצות. להפוך מטריצה ​​כזו נקראת, מכפילה אותה במקור, נקבל את הזהות. היא מסומנת בתור A^-1.

א · א^-1 =E

אלגוריתם למציאת המטריצה ​​ההפוכה

כדי למצוא את המטריצה ​​ההפוכה, אתה צריך להיות מסוגל לחשב מטריצות, כמו גם להיות בעל הכישורים לבצע איתן פעולות מסוימות.

יש לציין מיד שניתן למצוא את היפוך רק עבור מטריצה ​​מרובעת, וזה נעשה באמצעות הנוסחה שלהלן:

|A| - קובע מטריצה;

A^T_M היא המטריצה ​​המוטרפת של תוספות אלגבריות.

הערה: אם הקובע הוא אפס, אז המטריצה ​​ההפוכה לא קיימת.

דוגמה

בוא נמצא עבור המטריצה A להלן ההפך ממנו.

פתרון

1. ראשית, בואו נמצא את הקובע של המטריצה ​​הנתונה.

2. עכשיו בואו נעשה מטריצה ​​בעלת אותם מידות כמו המקורית:

אנחנו צריכים להבין אילו מספרים צריכים להחליף את הכוכביות. נתחיל ברכיב השמאלי העליון של המטריצה. הקטין שלו נמצא על ידי חציית השורה והעמודה שבה הוא נמצא, כלומר בשני המקרים במקום הראשון.

המספר שנשאר לאחר ההמחצה הוא הקטין הנדרש, כלומר M₁₁ = 8.

באופן דומה, אנו מוצאים את הקטינים עבור הרכיבים הנותרים של המטריצה ​​ומקבלים את התוצאה הבאה.

3. נגדיר את מטריצת התוספות האלגבריות. כיצד לחשב אותם עבור כל אלמנט, שקלנו בנפרד.

למשל, עבור אלמנט a₁₁ תוספת אלגברית נחשבת כדלקמן:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. בצע את הטרנספוזיציה של המטריצה ​​המתקבלת של תוספות אלגבריות (כלומר, החלף את העמודות והשורות).

5. נותר רק להשתמש בנוסחה לעיל כדי למצוא את המטריצה ​​ההפוכה.

אנו יכולים להשאיר את התשובה בצורה זו, מבלי לחלק את מרכיבי המטריצה ​​במספר 11, מכיוון שבמקרה זה אנו מקבלים מספרים שברים מכוערים.

בודקים את התוצאה

כדי לוודא שקיבלנו את ההיפוך של המטריצה ​​המקורית, נוכל למצוא את התוצר שלהם, שאמור להיות שווה למטריצת הזהות.

כתוצאה מכך, קיבלנו את מטריצת הזהות, מה שאומר שעשינו הכל נכון.