מה הגבול של פונקציה

בפרסום זה נשקול את אחד המושגים המרכזיים של ניתוח מתמטי – גבול הפונקציה: הגדרתה, וכן פתרונות שונים עם דוגמאות מעשיות.

קביעת הגבול של פונקציה

מגבלת פונקציה – הערך שאליו נוטה הערך של פונקציה זו כאשר הארגומנט שלה נוטה לנקודה המגבילה.

שיא מגבלה:

• המגבלה מסומנת על ידי הסמל lim;
• מתחתיו מתווסף לאיזה ערך נוטה הארגומנט (המשתנה) של הפונקציה. בדרך כלל זה x, אבל לא בהכרח, למשל:x″ ″;
• ואז הפונקציה עצמה מתווספת מימין, למשל:

  

לפיכך, התיעוד הסופי של הגבול נראה כך (במקרה שלנו):

קורא כמו "גבול הפונקציה שכן x נוטה לאחדות".

x→ 1 - זה אומר ש-"x" מקבל באופן עקבי ערכים שמתקרבים לאין ערוך לאחדות, אך לעולם לא יתחברו איתה (לא יגיעו אליו).

מגבלות החלטה

עם מספר נתון

בואו נפתור את הגבול הנ"ל. כדי לעשות זאת, פשוט החליפו את היחידה בפונקציה (כי x→1):

לפיכך, כדי לפתור את הגבול, ננסה תחילה פשוט להחליף את המספר הנתון בפונקציה שמתחתיו (אם x נוטה למספר מסוים).

עם אינסוף

במקרה זה, הארגומנט של הפונקציה גדל לאין שיעור, כלומר, "X" נוטה לאינסוף (∞). לדוגמה:

If x→∞, אז הפונקציה הנתונה נוטה למינוס אינסוף (-∞), כי:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 וכו'.

עוד דוגמה מורכבת יותר

כדי לפתור את הגבול הזה, גם, פשוט הגדל את הערכים x ותסתכל על ה"התנהגות" של הפונקציה במקרה זה.

• RџСўРё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџСўРё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџСўРё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

כך, עבור "X"נוטה לאינסוף, הפונקציה x² +3x –6 גדל ללא הגבלה.

עם אי ודאות (x נוטה לאינסוף)

במקרה זה, אנחנו מדברים על גבולות, כאשר הפונקציה היא שבר, המונה והמכנה שלהם הם פולינומים. איפה "X" נוטה לאינסוף.

דוגמא: בואו לחשב את הגבול למטה.

פתרון

הביטויים גם במונה וגם במכנה נוטים לאינסוף. ניתן להניח שבמקרה זה הפתרון יהיה כדלקמן:

עם זאת, לא הכל כל כך פשוט. כדי לפתור את המגבלה עלינו לעשות את הפעולות הבאות:

1. מצא x לעוצמה הגבוהה ביותר עבור המונה (במקרה שלנו, זה שניים).

2. באופן דומה, אנו מגדירים x בעוצמה הגבוהה ביותר עבור המכנה (שווה גם לשניים).

3. כעת נחלק גם את המונה וגם את המכנה ב x בתואר בכיר. במקרה שלנו, בשני המקרים - בשני, אבל אם הם היו שונים, צריך לקחת את הדרגה הגבוהה ביותר.

4. בתוצאה המתקבלת, כל השברים שואפים לאפס, ולכן התשובה היא 1/2.

עם אי ודאות (x נוטה למספר מסוים)

עם זאת, גם המונה וגם המכנה הם פולינומים, "X" נוטה למספר מסוים, לא לאינסוף.

במקרה זה, אנו עוצמים את עינינו על תנאי מכך שהמכנה הוא אפס.

דוגמא: בוא נמצא את הגבול של הפונקציה למטה.

פתרון

1. ראשית, נחליף את המספר 1 בפונקציה, אליה "X". אנו מקבלים את חוסר הוודאות של הצורה שאנו שוקלים.

2. לאחר מכן, אנו מפרקים את המונה והמכנה לגורמים. לשם כך, ניתן להשתמש בנוסחאות הכפל המקוצר, אם הן מתאימות, או.

במקרה שלנו, שורשי הביטוי במונה (2x² – 5x + 3 = 0) הם המספרים 1 ו-1,5. לכן, זה יכול להיות מיוצג כ: 2(x-1)(x-1,5).

מכנה (x–1) היא בהתחלה פשוטה.

3. אנו מקבלים מגבלה שונה כזו:

4. ניתן להקטין את השבר ב-x–1):

5. נותר רק להחליף את המספר 1 בביטוי המתקבל תחת הגבלה: