משפט סטיוארט: ניסוח ודוגמה עם פתרון

בפרסום זה נשקול את אחד המשפטים המרכזיים של הגיאומטריה האוקלידית – משפט סטיוארט, שקיבל שם כזה לכבודו של המתמטיקאי האנגלי מ' סטיוארט, שהוכיח זאת. כמו כן, ננתח בפירוט דוגמה לפתרון הבעיה כדי לגבש את החומר המוצג.

הצהרת המשפט

משולש דן א ב ג. לצידו AC נקודה נלקחה D, שמחובר לחלק העליון B. אנו מקבלים את הסימון הבא:

• AB = א
• BC = ב
• BD = p
• AD = x
• DC = ו

עבור משולש זה, השוויון נכון:

יישום המשפט

ממשפט סטיוארט, ניתן לגזור נוסחאות למציאת החציונים והחציים של משולש:

1. אורך החצייה

לתת l_c הוא חוט הקצה נמשך הצידה c, המחולק למקטעים x и y. בואו ניקח את שתי הצלעות האחרות של המשולש כ a и b… במקרה הזה:

2. אורך חציוני

לתת m_c הוא החציון מופנה לצד c. נסמן את שתי הצלעות האחרות של המשולש בתור a и b… לאחר מכן:

דוגמה לבעיה

משולש נתון א ב ג. בצד AC שווה ל-9 ס"מ, נקודה נלקחה D, שמחלק את הצד כך AD זמן כפול DC. אורך הקטע המחבר את הקודקוד B ונקודה D, הוא 5 ס"מ. במקרה זה, המשולש שנוצר עבד הוא שווה שוקיים. מצא את הצלעות הנותרות של המשולש א ב ג.

פתרון

בואו נתאר את תנאי הבעיה בצורה של ציור.

AC = AD + DC = 9 ס"מ. AD עוד DC פעמיים, כלומר AD = 2DC.

כתוצאה מכך, 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX ס"מ. כך, DC = 3 ס"מ, AD = 6 ס"מ.

כי משולש עבד – שווה שוקיים, וצד AD הוא 6 ס"מ, אז הם שווים AB и BDIe AB = 5 ס"מ.

נותר רק למצוא BC, שואבת את הנוסחה ממשפט סטיוארט:

אנו מחליפים את הערכים הידועים בביטוי זה:

בדרך זו, BC = √‎52 ≈ 7,21 ס"מ.