העלאת מספר מרוכב לעוצמה טבעית

בפרסום זה נשקול כיצד ניתן להעלות מספר מרוכב לחזקה (כולל שימוש בנוסחת De Moivre). החומר התיאורטי מלווה בדוגמאות להבנה טובה יותר.

העלאת מספר מרוכב לחזקה

ראשית, זכור שלמספר מרוכב יש את הצורה הכללית: z = a + bi (צורה אלגברית).

כעת נוכל להמשיך ישירות לפתרון הבעיה.

מספר ריבועי

אנחנו יכולים לייצג את התואר כמכפלה של אותם גורמים, ואז למצוא את התוצר שלהם (תוך כדי לזכור זאת i² = -1).

z² = (א + בי)² = (a + bi)(a + bi)

דוגמא 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

אתה יכול גם להשתמש, כלומר בריבוע הסכום:

z² = (א + בי)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ בי + (בי)² = a² + 2abi – ב²

הערה: באותו אופן, במידת הצורך, ניתן לקבל נוסחאות לריבוע ההפרש, קוביית הסכום/הפרש וכו'.

תואר נ'

להעלות מספר מרוכב z בסוג n הרבה יותר קל אם הוא מיוצג בצורה טריגונומטרית.

נזכיר שבאופן כללי, הסימון של מספר נראה כך: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

עבור אקספוננציה, אתה יכול להשתמש הנוסחה של דה מויברה (נקרא כך על שם המתמטיקאי האנגלי אברהם דה מויברה):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

הנוסחה מתקבלת על ידי כתיבה בצורה טריגונומטרית (המודולים מוכפלים, ומוסיפים את הארגומנטים).

דוגמה 2

להעלות מספר מרוכב z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) לדרגה השמינית.

פתרון

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).