חילוץ שורש של מספר מרוכב

בפרסום זה, נבחן כיצד ניתן לקחת את השורש של מספר מרוכב, וכן כיצד זה יכול לעזור בפתרון משוואות ריבועיות שהאבחנה שלהן קטנה מאפס.

חילוץ שורש של מספר מרוכב

שורש ריבועי

כידוע, אי אפשר לקחת את השורש של מספר ממשי שלילי. אבל כשמדובר במספרים מרוכבים, ניתן לבצע את הפעולה הזו. בוא נבין את זה.

נניח שיש לנו מספר z = -9. פורום √-9 יש שני שורשים:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

הבה נבדוק את התוצאות שהתקבלו על ידי פתרון המשוואה z² = -9, לא שוכח את זה i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ אני² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ אני² = 9 ⋅ (-1) = -9

לפיכך, הוכחנו זאת -3i и 3i הם שורשים √-9.

השורש של מספר שלילי נכתב בדרך כלל כך:

√-1 = ±i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i וכו '

שורש בחזקת נ

נניח שניתנו לנו משוואות של הצורה z = ⁿ√w… יש לזה n שורשים (z₀, או₁, או₂,…, ז_n-1), שניתן לחשב באמצעות הנוסחה שלהלן:

|w| הוא המודול של מספר מרוכב w;

φ – הטיעון שלו

k הוא פרמטר שלוקח את הערכים: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

משוואות ריבועיות עם שורשים מורכבים

חילוץ השורש של מספר שלילי משנה את הרעיון הרגיל של uXNUMXbuXNUMXb. אם המפלה (D) הוא פחות מאפס, אז לא יכולים להיות שורשים אמיתיים, אבל הם יכולים להיות מיוצגים כמספרים מרוכבים.

דוגמה

בואו נפתור את המשוואה x² – 8x + 20 = 0.

פתרון

a = 1, b = -8, c = 20

D = ב² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, אבל אנחנו עדיין יכולים לקחת את השורש של המבחין השלילי:

√D = √-16 = ±4i

כעת נוכל לחשב את השורשים:

x_1,2 = (-b ± √D)/2א = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

לכן, המשוואה x² – 8x + 20 = 0 בעל שני שורשים מצומדים מורכבים:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i