במאמר זה נשקול את ההגדרה והמאפיינים של משולש שווה צלעות (רגיל). ננתח גם דוגמה לפתרון בעיה כדי לגבש את החומר התיאורטי.
הגדרה של משולש שווה צלעות
שווה (אוֹ לתקן) נקרא משולש שבו כל הצלעות בעלות אותו אורך. הָהֵן. AB = BC = AC.
הערה: מצולע רגיל הוא מצולע קמור עם צלעות וזוויות שוות ביניהן.
תכונות של משולש שווה צלעות
נכס 1
במשולש שווה צלעות, כל הזוויות הן 60°. הָהֵן. α = β = γ = 60°.
נכס 2
במשולש שווה צלעות, הגובה הנמשך לכל צד הוא גם החציו של הזווית שממנה הוא נמשך, וגם החציון והמאונך.
CD – חציון, גובה ומחצה מאונך לצד AB, כמו גם חוצה הזווית ACB.
- CD בניצב AB => ∠ADC = ∠BDC = 90°
- AD = DB
- ∠ACD = ∠DCB = 30°
נכס 3
במשולש שווה צלעות, חצויים, החציונים, הגבהים והחצויים הניצבים הנמשכים לכל הצדדים מצטלבים בנקודה אחת.
נכס 4
המרכזים של המעגלים הכתובים והמוקפים סביב משולש שווה צלעות חופפים ונמצאים במפגש של חציונים, גבהים, חצויים וחוצים בניצב.
נכס 5
רדיוס המעגל המוקף סביב משולש שווה צלעות הוא פי 2 מהרדיוס של המעגל הכתוב.
- R הוא רדיוס המעגל המוקף;
- r הוא רדיוס המעגל הכתוב;
- R = 2r.
נכס 6
במשולש שווה צלעות, לדעת את אורך הצלע (ניקח אותה בתנאי "ל"), נוכל לחשב:
1. גובה/חציון/חציון:
2. רדיוס המעגל הרשום:
3. רדיוס המעגל המוקף:
4. היקפי:
5. שטח:
דוגמה לבעיה
ניתן משולש שווה צלעות שצלעו 7 ס"מ. מצא את רדיוס המעגל המוקף והכתוב, כמו גם את גובה הדמות.
פתרון
אנו מיישמים את הנוסחאות המפורטות לעיל כדי למצוא כמויות לא ידועות:
