תכונות גובה של משולש ישר זווית

בפרסום זה נשקול את המאפיינים העיקריים של הגובה במשולש ישר זווית, וכן ננתח דוגמאות לפתרון בעיות בנושא זה.

הערה: המשולש נקרא מלבני, אם אחת מהזוויות שלו ישרה (שווה ל-90°) והשתיים האחרות חדות (<90°).

מאפייני גובה במשולש ישר זווית

נכס 1

למשולש ישר זווית יש שני גבהים (h₁ и h₂) חופפים לרגליו.

גובה שלישי (h₃) יורד אל התחתון מזווית ישרה.

נכס 2

האורתוסנטר (נקודת החיתוך של גבהים) של משולש ישר זווית נמצא בקודקוד הזווית הישרה.

נכס 3

הגובה במשולש ישר זווית הנמשך אל התחתון מחלק אותו לשני משולשים ישרים דומים, שגם הם דומים למשולש המקורי.

1. △עבד ~ △א ב ג בשתי זוויות שוות: ∠ADB = ∠LAC (קווים ישרים), ∠עבד = ∠א ב ג.

2. △ADC ~ △א ב ג בשתי זוויות שוות: ∠ADC = ∠LAC (קווים ישרים), ∠ACD = ∠ACB.

3. △עבד ~ △ADC בשתי זוויות שוות: ∠עבד = ∠DAC, ∠רע = ∠ACD.

הוכחה: ∠רע = 90° – ∠ABD (ABC). במקביל ∠ACD (ACB) = 90° – ∠א ב ג.

לכן, ∠רע = ∠ACD.

ניתן להוכיח באופן דומה כי ∠עבד = ∠DAC.

נכס 4

במשולש ישר זווית, הגובה הנמשך אל תת-המנוזה מחושב באופן הבא:

1. דרך מקטעים על היריעה, נוצר כתוצאה מחלוקתו בבסיס הגובה:

2. דרך אורכי צלעות המשולש:

נוסחה זו נגזרת מ מאפייני הסינוס של זווית חדה במשולש ישר זווית (הסינוס של הזווית שווה ליחס בין הרגל הנגדית למתח התחתון):

הערה: למשולש ישר זווית, חלים גם מאפייני הגובה הכלליים המוצגים בפרסום שלנו.

דוגמה לבעיה

משימה 1

התחתון של משולש ישר זווית מחולק בגובה הנמשך אליו למקטעים 5 ו-13 ס"מ. מצא את אורך הגובה הזה.

פתרון

בואו נשתמש בנוסחה הראשונה המוצגת ב נכס 4:

משימה 2

רגליו של משולש ישר זווית הן 9 ו-12 ס"מ. מצא את אורך הגובה הנמשך אל תת-המנוזה.

פתרון

ראשית, בוא נמצא את אורך התחתון לאורך (תנו לרגלי המשולש להיות "ל" и "B", והתחתון הוא "לעומת"):

c² = א² + B² = 9² + 12² = 225.

כתוצאה מכך, с = 15 ס"מ.

כעת נוכל ליישם את הנוסחה השנייה מ נכסים 4דנו למעלה: