בפרסום זה נשקול את אחד המשפטים הקלאסיים של הגיאומטריה האפינית - משפט Ceva, שקיבל שם כזה לכבוד המהנדס האיטלקי ג'ובאני סווה. ננתח גם דוגמה לפתרון הבעיה על מנת לגבש את החומר המוצג.
הצהרת המשפט
משולש נתון א ב ג, שבו כל קודקוד מחובר לנקודה בצד הנגדי.
לפיכך, נקבל שלושה קטעים (AA', BB' и CC'), אשר נקראים cevians.
מקטעים אלה מצטלבים בנקודה אחת אם ורק אם מתקיים השוויון הבא:
|ו'| |לֹא'| |CB'| = |לִפנֵי הַסְפִירָה'| |מִשׁמֶרֶת'| |AB'|
ניתן להציג את המשפט גם בצורה זו (נקבע באיזה יחס הנקודות מחלקות את הצלעות):
משפט הטריגונומטרי של סווה
הערה: כל הפינות מכוונות.
דוגמה לבעיה
משולש נתון א ב ג עם נקודות ל', ב' и ג' בצדדים BC, AC и AB, בהתאמה. קודקודי המשולש מחוברים לנקודות הנתונות, והקטעים הנוצרים עוברים דרך נקודה אחת. יחד עם זאת, הנקודות ל' и ב' נלקח בנקודות האמצע של הצלעות הנגדיות המתאימות. גלה באיזה יחס הנקודה ג' מחלק את הצד AB.
פתרון
בואו נצייר ציור לפי תנאי הבעיה. לנוחיותנו, אנו מאמצים את הסימון הבא:
- AB' = B'C = a
- BA' = A'C = ב
נותר רק לחבר את היחס בין המקטעים לפי משפט Ceva ולהחליף בו את התווי המקובל:
לאחר הפחתת השברים, נקבל:
לָכֵן, AC' = C'B, כלומר נקודה ג' מחלק את הצד AB לחצי.
לכן, במשולש שלנו, הקטעים AA', BB' и CC' הם חציונים. לאחר שפתרנו את הבעיה, הוכחנו שהם מצטלבים בנקודה אחת (תקף לכל משולש).
הערה: באמצעות משפט Ceva, ניתן להוכיח שבמשולש בנקודה אחת, חצויים או הגבהים מצטלבים גם הם.