דירוג מטריקס: הגדרה, שיטות מציאת

בפרסום זה נשקול את הגדרת הדרגה של מטריצה, כמו גם את השיטות שבהן ניתן למצוא אותה. ננתח גם דוגמאות כדי להדגים את יישום התיאוריה בפועל.

קביעת הדרגה של מטריצה

דירוג מטריקס היא דרגת מערכת השורות או העמודות שלו. לכל מטריצה ​​יש את דרגות השורות והעמודות שלה, השוות זו לזו.

דירוג מערכת שורות הוא המספר המרבי של שורות בלתי תלויות באופן ליניארי. דרגת מערכת העמודות נקבעת באופן דומה.

הערות:

• הדרגה של מטריצת האפס (מסומנת בסמל "θ") בכל גודל הוא אפס.
• הדרגה של כל וקטור שורה או עמודה שאינה מאפס שווה לאחד.
• אם מטריצה ​​בכל גודל מכילה לפחות אלמנט אחד שאינו שווה לאפס, אזי הדרגה שלה אינה קטנה מאחד.
• הדרגה של מטריצה ​​אינה גדולה מהממד המינימלי שלה.
• טרנספורמציות יסודיות המבוצעות על מטריצה ​​אינן משנות את דרגתה.

מציאת הדרגה של מטריצה

שיטת פרינגינג מינור

הדרגה של מטריצה ​​שווה לסדר המרבי של אי-אפס.

האלגוריתם הוא כדלקמן: למצוא את הקטינים מהסדרים הנמוכים ביותר לגבוהים ביותר. אם קטין nהסדר אינו שווה לאפס, וכל העוקבים (n+1) שווים ל-0, כך שדרגת המטריצה ​​היא n.

דוגמה

כדי להבהיר את זה, ניקח דוגמה מעשית ונמצא את דרגת המטריצה A להלן, בשיטת הגבול עם קטינים.

פתרון

עסקינן במטריצה ​​של 4 × 4, לכן הדרגה שלה לא יכולה להיות גבוהה מ-4. כמו כן, ישנם אלמנטים שאינם אפס במטריצה, כלומר הדרגה שלה אינה קטנה מאחד. אז בואו נתחיל:

1. התחל לבדוק קטינים מהמסדר השני. מלכתחילה, אנו לוקחים שתי שורות של העמודה הראשונה והשנייה.

מינור שווה לאפס.

לכן, אנחנו עוברים לקטין הבא (הטור הראשון נשאר, ובמקום השני אנחנו לוקחים את השלישי).

הקטין הוא 54≠0, כך שדרגת המטריצה ​​היא לפחות שתיים.

הערה: אם הקטין הזה היה שווה לאפס, נבדוק עוד את השילובים הבאים:

במידת הצורך, ניתן להמשיך את הספירה באותו אופן עם מחרוזות:

• 1 ו-3;
• 1 ו-4;
• 2 ו-3;
• 2 ו-4;
• 3 ו- 4.

אם כל הקטינים מסדר שני היו שווים לאפס, אזי הדרגה של המטריצה ​​תהיה שווה לאחד.

2. הצלחנו כמעט מיד למצוא קטין שמתאים לנו. אז בואו נעבור ל קטינים מהמסדר השלישי.

לקטין שנמצא מהסדר השני, שנתן תוצאה שאינה אפס, נוסיף שורה אחת ואחת מהעמודות המודגשות בירוק (אנחנו מתחילים מהשנייה).

התברר שהקטין הוא אפס.

לכן, אנו משנים את העמודה השנייה לרביעית. ובניסיון השני, אנחנו מצליחים למצוא קטין שאינו שווה לאפס, מה שאומר שדרגת המטריצה ​​לא יכולה להיות פחות מ-3.

הערה: אם התוצאה הייתה שוב אפס, במקום השורה השנייה, ניקח את הרביעית קדימה ונמשיך בחיפוש אחר קטין "טוב".

3. כעת נותר לקבוע קטינים מהסדר הרביעי על סמך מה שנמצא קודם לכן. במקרה זה, זה תואם את הקובע של המטריצה.

מינור שווה 144≠0. זה אומר שהדרגה של המטריצה A שווה ל -4.

הפחתה של מטריצה ​​לצורה מדורגת

הדרגה של מטריצת צעדים שווה למספר השורות שאינן אפס שלה. כלומר, כל שעלינו לעשות הוא להביא את המטריצה ​​לצורה המתאימה, למשל באמצעות , אשר כפי שהזכרנו לעיל, לא משנים את הדרגה שלה.

דוגמה

מצא את הדרגה של מטריצה B לְהַלָן. אנחנו לא לוקחים דוגמה מורכבת מדי, כי המטרה העיקרית שלנו היא פשוט להדגים את יישום השיטה בפועל.

פתרון

1. ראשית, מחסירים את הכפול הראשון מהשורה השנייה.

2. כעת החסר את השורה הראשונה מהשורה השלישית, כפול ארבע.

לפיכך, קיבלנו מטריצת צעדים שבה מספר השורות שאינן אפס שווה לשניים, ולכן גם הדרגה שלה שווה ל-2.